요약: 월암중 3학년 2학기 중간고사(2026.9.22)는 이차함수 57점·삼각비 43점, 서술형 40점으로 출제됐습니다. 20문항 중 13문항이 교과서 대표유형 수준이었고, 14번(삼각비 표현 판별)과 15번(직사각형 접기·넓이의 비)이 변별 문항이었습니다.
1. 시험 개요
- 학교: 월암중학교 (3학년)
- 시험명: 2026학년도 2학기 중간시험
- 시험일: 2026년 9월 22일 (2교시)
- 소요 시간: 시험지에 표기 없음
- 문항 수: 선택형 15문항 + 서술형 5문항 = 총 20문항
- 배점: 총 100점 (선택형 60점 + 서술형 40점)
- 분석 방식: 시험지에 정답·해설이 없어 전 문항을 직접 풀고, 주요 문항은 수치 검산으로 답을 확인함
2. 시험범위
이차함수와 그 그래프 ~ 삼각비
- 이차함수의 뜻과 그래프 (y=a(x-p)²+q, 평행이동, 사분면 조건, 식 결정): 1~8번, 서술형 1~3 — 11문항 57점
- 삼각비 (삼각비의 값, 특수각, 삼각비의 활용·넓이) 및 도형 응용: 9~15번, 서술형 4~5 — 9문항 43점
3. 출제경향 총평
① 난이도 분포
전체 20문항 중 18문항(90%)이 난이도 중상 이하입니다. 특히 하 6문항·중 7문항으로 13문항(65%)이 교과서 대표유형 수준이어서, 개념을 정확히 정리한 학생이라면 큰 막힘 없이 풀 수 있는 시험입니다. 상 2문항이 있고 최상 문항은 없습니다. 고득점 여부는 고난도 문항보다 '중~중상 문항을 실수 없이 처리하는가'에서 갈리는 구조입니다.
② 변별력 문제
14번(삼각비 표현 보기 3개 판별)과 15번(직사각형 접기와 넓이의 비)이 가장 변별력이 큽니다. 14번은 같은 길이 CH를 서로 다른 기준각으로 세 가지 방법으로 표현해 봐야 하므로 하나만 확인하고 답을 고르면 틀립니다. 15번은 접기에서 AF⊥DE를 끌어내고 직각삼각형 높이에 의한 닮음비까지 이어야 합니다. 그 다음으로 7번(평행이동+교점+기울기 범위), 12번(무게중심 인식), 13번(넓이로 삼각비 구하기), 서술형 3(포물선 대칭성)이 상위권을 가르는 문항입니다.
③ 변형 및 계산량
전반적으로 교과서·유형서 대표유형을 크게 변형하지 않았습니다. 다만 3번(사분면 판별 시 x절편 3-√10의 부호), 6번(제2사분면 미통과 조건)처럼 그래프를 직접 그려보지 않으면 실수하기 쉬운 함정이 들어 있습니다. 계산량은 무겁지 않지만 7·8·11·14번 등 5점 문항은 여러 단계를 거쳐야 해 시간이 다소 걸립니다.
④ 서답형(논술형) 분석
서술형 5문항 40점으로 비중이 큽니다. 서술형 1·2·4는 정형 문항(식 결정, 사분면 조건, 특수각 삼각형)이라 반드시 만점을 받아야 하는 문항입니다. 서술형 3(10점)은 BC∥AD이고 길이가 같다는 조건에서 B, C가 y축 대칭임을 끌어내야 하고, 서술형 5(2)는 교점 E의 위치를 미지수로 두고 식을 세워야 해 부분점수 차이가 크게 날 수 있습니다. 서술형 2는 '모든 사분면' 조건에서 a<0과 y절편>0을 둘 다 써야 하며, 하나만 쓰면 감점됩니다.
4. 문항별 분석표
아래 표는 전 문항(선택형 15 + 서술형 5)을 직접 풀이한 결과를 바탕으로, 상위권 학생 기준으로 난이도를 판정한 분석입니다. 서술형 소문항은 한 행에 묶어 서술했습니다.
| 문항번호 | 문제유형 | 출제의도 | 풀이전략 | 난이도 | 행동영역 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이차함수의 뜻 | x²의 계수가 0이 아니어야 이차함수임을 아는지 확인 | x² 계수 k(k-3)-10=k²-3k-10=(k-5)(k+2)≠0 → k≠5, -2 → 정답 ③ -2 | 하 | 이해력 |
| 2 | y=ax²+q 그래프 성질 | 꼭짓점·축·볼록·사분면 등 기본 성질 판별 | 축은 x=0(y축)이므로 '직선 x=1이 축'이 틀림 → 정답 ②. (꼭짓점 (0,1), x절편 ±√3이라 모든 사분면 통과) | 하 | 이해력 |
| 3 | y=a(x-p)²+q 그래프 성질 | 폭·증감·지나는 사분면을 정확히 판단하는지 확인 | y절편 9/2-5=-1/2<0, x절편 3±√10 중 3-√10<0 → 제1~4사분면 모두 지남 → '제1,2,4사분면만'이 틀림 → 정답 ⑤ | 중 | 이해력 |
| 4 | 꼭짓점과 사분면 조건 → a의 범위 | 그래프 개형으로 계수 조건을 세우는 능력 | y=a(x+2)²+3, 제1사분면 미통과 → a<0이고 y절편 4a+3≤0 → a≤-3/4 → 정답 ② | 중 | 이해력 |
| 5 | 이차함수 식 결정(a+b+c) | a+b+c=f(1)임을 알아차리는지 확인 | 점 (1,0)을 지나므로 a+b+c=f(1)=0 즉답 → 정답 ②. (정석 풀이: c=-3, b=2a로 a=1, b=2) | 하 | 계산력 |
| 6 | 사분면 조건과 계수 부호 | 제2사분면 미통과 조건을 그래프로 해석 | 제2사분면 미통과 → 위로 볼록(-a<0 → a>0), 꼭짓점 제1사분면(p>0, q>0) → 정답 ① | 중 | 이해력 |
| 7 | 평행이동+직선과의 교점+기울기 범위 | 평행이동·교점·원점 지나는 직선 기울기를 종합 | y=2(x-3)²-2 → 이동 후 y=2x², 직선 y=x+3과 교점 A(-1,2), B(3/2,9/2). OA 기울기 -2, OB 기울기 3 → 선분 AB와 안 만나려면 -2<k<3 → 정답 ④ | 중상 | 문제해결력 |
| 8 | 두 포물선과 수평선의 교점 | 교점 좌표와 대칭축을 이용한 미정계수 결정 | B(0,5) → k=5, A(-4,5)이므로 AB=4, BC=2 → C(2,5). 두 번째 포물선 축 x=1 → p=1, q=6 → kpq=30 → 정답 ③ | 중 | 이해력 |
| 9 | 삼각비의 값 | 피타고라스 정리와 cos의 정의 | AB=√(6-2)=2, cosB=2/√6=√6/3 → 정답 ③ | 하 | 계산력 |
| 10 | 특수각의 삼각비 | 특수각 역추적 후 값 계산 | 2x-30°=60° → x=45°, sin45°+cos45°=√2 → 정답 ⑤ | 하 | 계산력 |
| 11 | 삼각형의 넓이(보조선) | 특수각이 나오도록 수선을 긋는 정형 활용 | ∠A=60°, C에서 AB에 수선 CH: CH=BH=2√3, AH=2 → AB=2+2√3, 넓이=½(2+2√3)(2√3)=6+2√3 → 정답 ① | 중 | 이해력 |
| 12 | 마름모 속 정삼각형·무게중심 | AB=AC에서 정삼각형, M이 무게중심임을 인식 | △ABC 정삼각형(넓이 16√3), AH·BN이 중선 → M은 무게중심 → △ABM=⅓·16√3=16√3/3 → 정답 ④ | 중상 | 문제해결력 |
| 13 | 정사각형 속 각의 코사인 | 넓이를 이용해 삼각비를 구하는 발상 | DM=DN=2√5, △MDN=16-4-4-2=6 → ½·20·sinx=6 → sinx=3/5 → cosx=4/5 → 정답 ⑤ | 중상 | 문제해결력 |
| 14 | 삼각비 활용 보기 판별(높이·길이 표현) | 같은 길이를 서로 다른 기준각으로 표현할 수 있는지 판별 | ㄴ: AH=(5+CH)tan62°=CH·tan78°. ㄱ: A에서 각 28°·12° 이용 BC=AH(tan28°-tan12°). ㄷ: AC=b로 두고 BC=b(sin78°tan28°-cos78°). 세 식 모두 3.33으로 일치 → 정답 ⑤ | 상 | 추론력 |
| 15 | 직사각형 접기·넓이의 비 | 접기 성질과 직각삼각형 닮음(넓이비)을 연결 | ∠DAE=60° → ∠DAF=30°, AD=a, DF=a/√3. AF⊥DE이므로 DG는 직각삼각형 ADF의 높이 → AG:GF=AD²:DF²=3:1 → △DGF=¼△ADF, △AEF=△ADF → 4배 → 정답 ③ | 상 | 문제해결력 |
| 서1 | 그래프로 식 결정(7점) | 꼭짓점·y절편으로 이차함수 식 구하기 | 꼭짓점 (-2,-1), y절편 3 → y=a(x+2)²-1, 3=4a-1 → a=1 → y=x²+4x+3 → 3a+2b+c=3+8+3=14 | 중 | 계산력 |
| 서2 | 모든 사분면 통과 조건(8점) | 그래프 개형을 부등식 조건으로 바꾸기 | 꼭짓점 (1,7) → a<0이고 y절편 a+7>0 → -7<a<0 → 정수 -6~-1의 합 = -21 | 중 | 이해력 |
| 서3 | 포물선 위 평행사변형 넓이(10점) | 평행사변형 성질과 포물선의 대칭성 연결 | D(2√6, 8) → AD=2√6. BC∥AD, BC=2√6이고 B, C가 같은 높이 → y축 대칭 B(-√6,2), C(√6,2) → 높이 6, 넓이=2√6×6=12√6 | 중상 | 문제해결력 |
| 서4 | 특수각 삼각형의 변·넓이(7점, 소문항2) | (1) 30°·45° 직각삼각형으로 AH, BC (2) 넓이 | (1) AH=8sin30°=4, BH=4√3, HC=4 → BC=4√3+4 (2) 넓이=½(4√3+4)·4=8√3+8 | 하 | 계산력 |
| 서5 | 두 직각삼각형 결합 길이(8점, 소문항2) | (1) 삼각비로 BC, CD (2) 교점 E의 위치를 비례로 구하기 | (1) BC=2√3·tan30°=2, CD=BC=2 (2) EF=a로 두면 △DEF가 직각이등변이라 DF=a, CF=2-a. ∠ACB=60°이므로 ∠ECF=30° → tan30°=a/(2-a) → (√3+1)a=2 → EF=√3-1 | 중상 | 문제해결력 |
5. 분석 요약
난이도 분포
- 하: 6문항 / 중: 7문항 / 중상: 5문항 / 상: 2문항 / 최상: 0문항
행동영역 분포
- 계산력 5문항 / 이해력 8문항 / 추론력 1문항 / 문제해결력 6문항
학습 권장 전략
이차함수(57점)와 삼각비(43점)가 거의 반반이고, 서술형이 40점이어서 정형 문항의 완성도가 점수를 좌우합니다. 이차함수는 '사분면 조건 → 부호·y절편 부등식'으로 바꾸는 훈련이 핵심이고, 삼각비는 특수각 보조선과 '하나의 길이를 여러 기준각으로 표현하기'를 연습해야 합니다. 변별 문항(14·15번)은 단순 공식이 아니라 도형 관계(수직, 닮음비)를 설명할 수 있어야 풀리므로, 풀이 과정을 말로 설명하는 학습이 효과적입니다.
6. 준비 방향
상위권 학생 기준으로, 이 시험 유형에 대비하는 방향을 정리합니다.
① 목표 등급별 공략 라인
90점 이상을 목표로 한다면 하·중 13문항과 서술형 1·2·4(22점)를 실수 없이 확보한 뒤 중상 5문항까지 맞혀야 합니다. 만점권은 14·15번을 시간 안에 해결해야 하며, 이를 위해 앞부분 문항을 빨리 끝내 15분 이상의 여유를 남기는 것이 좋습니다.
② 단원별 우선순위·비중
이차함수 단원은 그래프 개형 해석(사분면, 계수 부호, 평행이동)이 전체 문항의 절반 이상을 차지하므로 가장 먼저 다져야 합니다. 삼각비 단원은 특수각 직각삼각형 보조선과 넓이 공식 활용을 우선 연습하고, 그 다음 삼각비 표현 문제로 넘어가는 순서가 효과적입니다.
③ 변별 문항 심화 포인트
14번 유형은 '구하려는 길이를 미지수로 두고, 기준각을 바꿔 가며 같은 길이를 두 가지로 나타낸다'는 원리를 이해해야 합니다. 15번 유형은 접기 문제에서 '접는 선은 대응점을 잇는 선분의 수직이등분선'이라는 성질과 직각삼각형 높이의 닮음을 연결하는 훈련이 필요합니다. 7번·서술형 3처럼 그래프 위 점들의 위치 관계(대칭, 기울기)를 그림으로 그려 조건을 바꾸는 연습도 함께 해야 합니다.
④ 실수 방지·서답형 대비
3·6번처럼 사분면을 판단하는 문항은 반드시 꼭짓점·y절편·x절편을 확인하고 대략적인 그래프를 그려야 합니다. 서술형은 조건(예: a<0, y절편>0)을 빠뜨리지 않고 모두 식으로 적는 습관이 중요하며, 답만 쓰거나 그림에 길이만 적는 방식은 부분점수를 잃기 쉽습니다.
⑤ 시험 운영 전략
1~6, 9~10번은 즉답·정형 문항이므로 빠르게 처리하고, 5점 문항(7·8·14·15번)과 서술형 3·5에 시간을 배분하는 것이 좋습니다. 14번처럼 보기를 모두 확인해야 하는 문항은 하나만 확인하고 답을 고르지 말고, 셋 모두 검토한 뒤 판단해야 합니다.
자주 묻는 질문
Q. 월암중 3학년 2학기 중간고사 시험범위는 어디였나요?
이차함수와 그 그래프부터 삼각비까지였습니다. 이차함수 11문항(57점), 삼각비와 도형 응용 9문항(43점)으로 두 단원이 거의 반반이었습니다.
Q. 이번 시험에서 가장 어려운 문항은 무엇이었나요?
14번(같은 길이를 서로 다른 기준각으로 표현하는 삼각비 보기 판별)과 15번(직사각형 접기에서 수직 관계와 닮음비로 넓이의 비 구하기)이 가장 변별력이 컸습니다. 최상 난이도 문항은 없었습니다.
Q. 서술형은 어떻게 대비해야 하나요?
서술형이 5문항 40점으로 비중이 큽니다. 서술형 1·2·4는 정형 문항이라 만점을 받아야 하고, 조건(예 a<0, y절편>0)을 빠짐없이 식으로 적는 습관이 중요합니다. 서술형 3·5는 대칭성과 미지수 설정이 필요해 부분점수 차이가 크게 납니다.
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